В 1950-е годы Евгений Александрович Моргунов снимался преимущественно в фильмах историко-патриотической направленности, ныне малоизвестных. Всенародную популярность Моргунову принесла роль Бывалого в серии кинокомедий Леонида Гайдая 1960-х годов: «Самогонщики», «Пёс Барбос и необычный кросс», «Операция «Ы» и другие приключения Шурика», «Кавказская пленница, или новые приключения Шурика». На волне популярности Моргунов пробует себя в качестве режиссёра — снимает картину «Когда казаки плачут» по рассказу Шолохова (1963).

Во время съёмок «Кавказской пленницы» между Моргуновым и Гайдаем произошёл конфликт, когда актёр повёл себя по отношению к режиссёру, известному своей строгостью, излишне независимо. Этот эпизод сильно осложнил дальнейшую карьеру Евгения Моргунова. В 1970—1980-е годы он редко снимался в кино, в основном в эпизодах, наиболее известный фильм этого периода с его участием — «Покровские ворота». В постсоветские годы он снялся в большем числе картин, чем за предыдущие двадцать лет, однако главных ролей по-прежнему не играл. Для зрителей он так и остался Бывалым.