Александр Степанович Попов родился 16 марта 1859 года на Урале в посёлке Турьинские Рудники Верхотурского уезда Пермской губернии (ныне г. Краснотурьинск Свердловской области).
В семье его отца, местного священника Степана Петровича Попова (1827—1897), кроме Александра было ещё 6 детей, среди них сестра Августа, в будущем известная художница. Жили более чем скромно. Двоюродный брат будущего изобретателя Павел Попов занимал профессорскую кафедру в Киевском университете, а его сын Игорь Попов (1913-2001) занимался в США сейсмологией
В 1873 году он поступил в Пермскую духовную семинарию. После окончания общеобразовательных классов Пермской духовной семинарии (1877 год) Александр успешно сдал вступительные экзамены на физико-математический факультет Санкт-Петербургского университета. Годы учения в университете не были для Попова лёгкими. Средств не хватало, и он вынужден был подрабатывать электромонтёром в конторе «Электротехник». В эти годы окончательно сформировались научные взгляды Попова: его особенно привлекали проблемы новейшей физики и электротехники.
Успешно окончив университет в 1882 году со степенью кандидата, А. С. Попов получил приглашение остаться там для подготовки к профессорской деятельности по кафедре физики. В 1882 году защитил диссертацию на тему «О принципах магнито- и динамоэлектрических машин постоянного тока». Но молодого учёного больше привлекали экспериментальные исследования в области электричества, и он поступил преподавателем физики, математики и электротехники в Минный офицерский класс в Кронштадте, где имелся хорошо оборудованный физический кабинет. В 1890 году получил приглашение на должность преподавателя физики в Техническое училище Морского ведомства в Кронштадте. Одновременно в 1889—98 годах в летнее время заведовал главной электростанцией Нижегородской ярмарки. В этот период всё своё свободное время Попов посвящает физическим опытам, главным образом, изучению электромагнитных колебаний. В 1899 году удостоен звания Почётного инженера-электрика.
С 1901 года Попов — профессор физики Электротехнического института императора Александра III. Также Попов был Почётным инженером-электриком (1899)[4] и почётным членом Русского технического общества (1901). В 1901 году Попову присвоен гражданский (статский) чин V класса статский советник.
В 1905 году учёный совет института избрал А. С. Попова ректором.
Судовая радиоприёмная станция А. С. Попова образца 1901 года была рассчитана для приёма на ленту и на слух. Такими приёмными станциями были оборудованы многие корабли Черноморского флота. Во время общефлотских манёвров 7 сентября 1899 года удалось поддерживать радиосвязь с кораблями «Георгий Победоносец», «Три Святителя» и «Капитан Сакен», которые дрейфовали в 14 км от берега. В память об этом получила название Радиогорка в Севастополе.
Прибор А. С. Попова возник из установки для учебной демонстрации опытов Герца, построенной А. С. Поповым с учебными целями ещё в 1889 году; вибратор Герца служил учёному передатчиком. В начале 1895 года А. С. Попов заинтересовался опытами О. Лоджа (усовершенствовавшего когерер и построившего на его основе радиоприёмник, с помощью которого в августе 1894 года сумел получать радиосигналы с расстояния 40 м), и попытался воспроизвести их, построив собственную модификацию приёмника Лоджа.